常规波束形成：从时延补偿到方位谱

波束形成是阵列信号处理中最基础的一类方法，直到现在仍是水声与语音阵列系统的组成部分。它一方面把观察方向上的信号相干叠加，以改善输出信噪比；另一方面，通过扫描不同方向并比较输出功率，得到方位谱，用于估计信号的到达方向。两种用途使用的是同一套空间加权思想，但评价标准并不完全相同。

从传播时延到加权向量

对远场窄带平面波，阵列上各阵元接收的是同一源信号的不同延迟版本。设 $N$ 个特性相同的阵元组成均匀线阵，相邻间距为 $d$，入射角 $\theta$ 从阵列法线（正横方向）起算，波速为 $c$，则相邻阵元的几何时延幅度为

若频率为 $f$、角频率为 $\omega=2\pi f$、波长为 $\lambda=c/f$，相邻阵元的相位差可写成 $\omega\tau=2\pi(d/\lambda)\sin\theta$。$\tau$ 是时间，不能把波长和时间直接相乘。时延的正负号取决于阵元编号与来波方向约定；下文固定一种约定，把导向向量写成

以 $\theta_0$ 为观察方向，均匀延迟求和权向量取 $\mathbf w(\theta_0)=\mathbf a(\theta_0)/N$。若接收向量为 $\mathbf x$，输出是

此时 $\mathbf w^{\mathrm H}(\theta_0)\mathbf a(\theta_0)=1$：观察方向上的信号得到相位补偿后相干相加。求和式里的权值应取共轭，因为前面采用的是 $\mathbf w^{\mathrm H}\mathbf x$ 记法。若改用 $\sum_m w_mx_m$，就必须同时修改权向量定义，不能把两种约定混在一起。

从宽带信号看，“补偿时延”可以是时域分数延时，也可以在每个频点施加相位权值。固定频率的导向向量只描述窄带情形；把它直接用于整个语音带宽，会使不同频率上的指向性不同。

从输出功率到方位谱

设阵列协方差矩阵为 $\mathbf R=\mathbb E[\mathbf x\mathbf x^{\mathrm H}]$，则扫描方向 $\theta$ 的常规波束形成功率为

实际只有有限个快拍 $\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_L$，通常用样本协方差代替理论期望：

在独立同分布的零均值复高斯样本等特定模型下，它也与协方差的极大似然估计一致；一般情况下称为样本协方差更准确。用它代入 $P_{\mathrm{CBF}}$，便得到可以在离散角度网格上计算的方位谱。谱峰说明该扫描方向具有较高输出功率，但不保证每个真实声源都对应一个可分开的峰。

常规波束形成的分辨力主要受阵列孔径、信号频率、角度位置和噪声条件限制。阵元数不变时，增大孔径通常能缩窄主瓣，但如果相邻间距超过半波长，视场内可能出现空间混叠。快拍数增加可使协方差估计更稳定，却不能把由孔径造成的主瓣宽度无限缩小。

双目标仿真

考虑 16 个各向同性阵元组成的均匀线阵，阵元间距为 $\lambda/2$，两个等强度窄带信号频率为 2 kHz，背景为高斯白噪声，信号与噪声互不相关，快拍数为 1024。以阵列法线为 $0^\circ$，改变两个目标的角度间隔和输入信噪比，可得到下列方位谱。

两目标分别在 $-5^\circ$ 与 $5^\circ$，间隔 $10^\circ$，谱中可以看到明显分开的两个峰。

把间隔收窄到 $7^\circ$，两个峰开始靠近，仍能在这组条件下区分。

间隔进一步收窄至 $6^\circ$，两个目标落进一片合并的主瓣里，常规波束形成无法从这张谱上稳定读出两个独立方位。

保持 $7^\circ$ 间隔而降低信噪比，谱峰相对噪声和旁瓣的区分度下降。这里的 $6^\circ$、$7^\circ$ 只是在上述阵列和仿真条件下的观察，不是常规波束形成的一条固定分辨率界限；改动孔径、频率、目标方位、信号相关性或快拍数，结论都会变化。

从这些图也能看出，扫描方位谱与提高输出信噪比虽然共用同一个波束形成器，却要关注不同问题。用于拾音时，要看目标方向的增益、通带宽度和干扰抑制；用于 DOA 时，要看相邻目标能否形成可区分的谱峰。只追求主瓣变窄而忽略旁瓣、扫描范围与麦克风失配，往往不能得到稳定的方位估计。