正态、拉普拉斯、对数正态与瑞利分布

本文主要介绍正态分布、拉普拉斯分布等常用分布拟合的理论推导以及代码实现。

理论推导

假设数据独立同分布。对于任意数据点${x_i}$，对应概率密度为$f({x_i})$，最大似然函数：

表示成参数，并写成对数形式：

正态分布

对于正态分布：

求偏导得参数估计：

拉普拉斯分布

对于拉普拉斯分布:

对 $\mu$ 最大化似然，等价于最小化绝对偏差之和，因此位置参数的最大似然估计为样本中位数：

最大似然函数求偏导，得出b的估计：

对数正态分布

对数正态分布的密度定义在 $x>0$ 上：

事实上，令$t = \ln x$，则参数求解与正态分布完全一致。

瑞利分布

对不带位置偏移的瑞利分布，$x\geq0$，概率密度为：

最大似然求导，得出参数估计：

代码实现

正态分布

x       = x(:);                 % should be column vectors !
N       = length(x);
u       = sum(x)/N;
sig2    = (x-u)'*(x-u)/N;

拉普拉斯分布

x       = x(:);                 % should be column vectors !
N       = length(x);
u       = median(x);
b       = sum(abs(x-u))/N;

对数正态分布

t     = log(x(:));                 % should be column vectors !
N       = length(x);
m       = sum( t )/N;
sig2      = (t-m)'*(t-m)/N;

瑞利分布

x       = real(x(:));                 % should be column vectors !
N       = length(x);
s       = sum(x.^2)/(2*N);

其中 s 是瑞利分布的尺度参数平方 $\hat\sigma^2$；输入须为非负实数。对数正态分布的输入须严格大于零。

应用举例

以正态分布为例：

rng('default') % for reproducibility
x = 3*randn(100000,1)-2;
%fitting
x       = x( : );                 % should be column vectors !
N       = length(x);
u       = sum(x)/N;
sig2    = (x-u)'*(x-u)/N;

%Plot

figure;
%Bar
subplot 311
numter = [-15:.2:10];
[histFreq, histXout] = hist(x, numter);
binWidth = histXout(2)-histXout(1);
bar(histXout, histFreq/binWidth/sum(histFreq)); hold on;grid on;
%Fitting plot
subplot 312
y = 1/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(numter-u).^2/2/sig2);
plot(numter,y,'r','linewidth',2);grid on;

%Fitting result
subplot 313
bar(histXout, histFreq/binWidth/sum(histFreq)); hold on;grid on;
plot(numter,y,'r','linewidth',2);

结果图：