实际阵列在接收信号的同时，由于复杂的环境影响，往往会伴有很多干扰信号，但是只有一部分方位是人们感兴趣的，所以对其他方位的噪声以及干扰进行抑制是非常有必要的，由此需要一个空域滤波器，能够做到只让来自感兴趣方向的信号通过，并且抑制来自其余不感兴趣方向的信号。
矩阵空域滤波器以及波束域滤波器是空域滤波器中最为主要的两大分支。其中矩阵空域滤波器是比波束域滤波器更为合适作为预滤波器的一种空域滤波器，该滤波器不仅有着空域滤波器的基本特性，最为重要的一个特性就是，该滤波器处理完阵列信号后输出的数据不同于波束域滤波器输出的波束域信号，其输出仍为阵列信号。因此可以改良阵列数据，进而达到预处理的目的以及达到提高目标方位估计分辨率以及目标检测的能力。
空域矩阵滤波器原理
由阵列信号模型，对于一个由N 个阵元构成的任意阵列，自远场入射D 个窄带信号，方向角为Θ D = [ θ 1 , ⋯ θ 2 ⋯ θ D ] {\Theta _D} = [{\theta _1}, \cdots {\theta _2} \cdots {\theta _D}] Θ D = [ θ 1 , ⋯ θ 2 ⋯ θ D ]
x ( t ) = A ( Θ D ) s ( t ) + n ( t ) x(t)=A\left(\Theta_{D}\right) s(t)+n(t) x ( t ) = A ( Θ D ) s ( t ) + n ( t ) 引入一个N × N N \times N N × N G G G
y ( t ) = G H x ( t ) = G H A ( Θ D ) s ( t ) + G H n ( t ) = C ( Θ D ) s ( t ) + n c ( t ) \begin{aligned}
y(t) &=G^{H} x(t)=G^{H} A\left(\Theta_{D}\right) s(t)+G^{H} n(t) \\
&=C\left(\Theta_{D}\right) s(t)+n_{c}(t)
\end{aligned} y ( t ) = G H x ( t ) = G H A ( Θ D ) s ( t ) + G H n ( t ) = C ( Θ D ) s ( t ) + n c ( t ) 其中C ( Θ D ) = G H A ( Θ D ) C({\Theta _D}) = {G^H}A({\Theta _D}) C ( Θ D ) = G H A ( Θ D ) n c ( t ) = G H n ( t ) {n_c}(t) = {G^H}n(t) n c ( t ) = G H n ( t )
G H a ( θ ) = { a ( θ ) , θ ∈ Θ P 0 , θ ∈ Θ s G^{H} a(\theta)=\left\{\begin{array}{cl}
a(\theta), & \theta \in \Theta_{P} \\
0, & \theta \in \Theta_{s}
\end{array}\right. G H a ( θ ) = { a ( θ ) , 0 , θ ∈ Θ P θ ∈ Θ s 其中Θ P {\Theta _P} Θ P Θ S {\Theta _S} Θ S
阻带约束通带最小均方准则
基于阻带约束通带最小均方准则设计的空域矩阵滤波器优化问题可以表示为：
min G ∑ p = 1 P ∥ G H a ( θ p ) − a ( θ p ) ∥ 2 , θ p ∈ Θ P subject to ∥ G H a ( θ s ) ∥ ≤ ξ , θ s ∈ Θ S , ∥ G H ∥ F ≤ Δ . \begin{aligned}
\min_{G}\quad & \sum_{p=1}^{P}\left\|G^{H}a\left(\theta_{p}\right)-a\left(\theta_{p}\right)\right\|^{2}, \quad \theta_{p}\in\Theta_{P} \\
\text{subject to}\quad & \left\|G^{H}a\left(\theta_{s}\right)\right\|\leq\xi, \quad \theta_{s}\in\Theta_{S}, \\
& \left\|G^{H}\right\|_{F}\leq\Delta.
\end{aligned} G min subject to p = 1 ∑ P G H a ( θ p ) − a ( θ p ) 2 , θ p ∈ Θ P G H a ( θ s ) ≤ ξ , θ s ∈ Θ S , G H F ≤ Δ. 其中ξ \xi ξ ∥ G H ∥ F ≤ Δ \left\|G^{H}\right\|_{F} \leq \Delta G H F ≤ Δ
∥ G H a ( θ p ) − a ( θ p ) ∥ 2 ≤ ε , p = 1 , 2 , ⋯ , P \left\|G^{H} a\left(\theta_{p}\right)-a\left(\theta_{p}\right)\right\|^{2} \leq \varepsilon, p=1,2, \cdots, P G H a ( θ p ) − a ( θ p ) 2 ≤ ε , p = 1 , 2 , ⋯ , P 其中ε \varepsilon ε
min G ε subject to ∥ G H a ( θ p ) − a ( θ p ) ∥ 2 ≤ ε , θ p ∈ Θ P , ∥ G H a ( θ s ) ∥ ≤ ξ , θ s ∈ Θ S , ∥ G H ∥ F ≤ Δ . \begin{aligned}
\min_{G}\quad & \varepsilon \\
\text{subject to}\quad & \left\|G^{H}a\left(\theta_{p}\right)-a\left(\theta_{p}\right)\right\|^{2}\leq\varepsilon, \quad \theta_{p}\in\Theta_{P}, \\
& \left\|G^{H}a\left(\theta_{s}\right)\right\|\leq\xi, \quad \theta_{s}\in\Theta_{S}, \\
& \left\|G^{H}\right\|_{F}\leq\Delta.
\end{aligned} G min subject to ε G H a ( θ p ) − a ( θ p ) 2 ≤ ε , θ p ∈ Θ P , G H a ( θ s ) ≤ ξ , θ s ∈ Θ S , G H F ≤ Δ. 将滤波矩阵G G G N 个行向量，则G T = [ g 1 , g 2 , ⋯ g N ] {G^T} = [{g_1},{g_2}, \cdots {g_N}] G T = [ g 1 , g 2 , ⋯ g N ] G = [ g 1 T , g 2 T , ⋯ g N T ] G = [g_1^T,g_2^T, \cdots g_N^T] G = [ g 1 T , g 2 T , ⋯ g N T ] y = [ ε , g T ] T y = {[\varepsilon ,{g^T}]^T} y = [ ε , g T ] T b = [ 1 , 0 1 × N 2 ] T b = {[1,{0_{1 \times {N^2}}}]^T} b = [ 1 , 0 1 × N 2 ] T ε = b T y \varepsilon {\rm{ = }}{b^T}y ε = b T y
min y b T y subject to ∥ [ 0 a ( θ p ) T 0 1 × N ⋯ 0 1 × N 0 0 1 × N a ( θ p ) T ⋯ 0 1 × N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 1 × N 0 1 × N ⋯ a ( θ p ) T ] y − a ( θ p ) ∥ ≤ [ 1 0 1 × N 2 ] y , p = 1 , 2 , … , P , ∥ [ 0 a ( θ s ) T 0 1 × N ⋯ 0 1 × N 0 0 1 × N a ( θ s ) T ⋯ 0 1 × N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 1 × N 0 1 × N ⋯ a ( θ s ) T ] y ∥ ≤ ξ , s = 1 , 2 , … , S , ∥ [ 0 N 2 × 1 I N 2 × N 2 ] y ∥ ≤ Δ . \begin{aligned}
\min_{y}\quad & b^{T}y \\
\text{subject to}\quad
& \left\|
\begin{bmatrix}
0 & a\left(\theta_{p}\right)^{T} & 0_{1\times N} & \cdots & 0_{1\times N} \\
0 & 0_{1\times N} & a\left(\theta_{p}\right)^{T} & \cdots & 0_{1\times N} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0_{1\times N} & 0_{1\times N} & \cdots & a\left(\theta_{p}\right)^{T}
\end{bmatrix}y-a\left(\theta_{p}\right)\right\|
\leq \begin{bmatrix}1 & 0_{1\times N^{2}}\end{bmatrix}y,
\quad p=1,2,\ldots,P, \\
& \left\|
\begin{bmatrix}
0 & a\left(\theta_{s}\right)^{T} & 0_{1\times N} & \cdots & 0_{1\times N} \\
0 & 0_{1\times N} & a\left(\theta_{s}\right)^{T} & \cdots & 0_{1\times N} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0_{1\times N} & 0_{1\times N} & \cdots & a\left(\theta_{s}\right)^{T}
\end{bmatrix}y\right\|\leq\xi,
\quad s=1,2,\ldots,S, \\
& \left\|\begin{bmatrix}0_{N^{2}\times 1} & I_{N^{2}\times N^{2}}\end{bmatrix}y\right\|\leq\Delta.
\end{aligned} y min subject to b T y 0 0 ⋮ 0 a ( θ p ) T 0 1 × N ⋮ 0 1 × N 0 1 × N a ( θ p ) T ⋮ 0 1 × N ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 1 × N 0 1 × N ⋮ a ( θ p ) T y − a ( θ p ) ≤ [ 1 0 1 × N 2 ] y , p = 1 , 2 , … , P , 0 0 ⋮ 0 a ( θ s ) T 0 1 × N ⋮ 0 1 × N 0 1 × N a ( θ s ) T ⋮ 0 1 × N ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 1 × N 0 1 × N ⋮ a ( θ s ) T y ≤ ξ , s = 1 , 2 , … , S , [ 0 N 2 × 1 I N 2 × N 2 ] y ≤ Δ. 由此将阻带约束通带最小均方优化问题转变为标准的二阶锥规划形式，可以求得y y y 2 ∼ ( N 2 + 1 ) 2 \sim\left(N^{2}+1\right) 2 ∼ ( N 2 + 1 ) N × N N \times N N × N G G G
空域矩阵预滤波DOA估计与仿真分析
MUSIC算法属于目标方位估计的经典算法之一，相比于常规波束形成等算法，具有更高的分辨率，但是MUSIC算法在低信噪比、或者小快拍等情况下，性能会大幅下降。当阵列接受到目标信号后，通过空域矩阵滤波器对数据进行加工处理，在不影响通带扇面信号的情况下抑制阻带扇面内的干扰以及噪声。空域矩阵滤波器相对于其他的阵列信号预处理算法的一个明显优势是滤波器的输出数据仍为阵元域数据，经过此方法处理的数据仍可以被很多阵列信号处理算法应用，以达到抑制空间某方向干扰的目的。本节将预滤波的信号采用MUSIC方法进行方位估计，同时与经典MUSIC算法对比，分析包括分辨率、信噪比门限等在内的性能指标。
空域矩阵预滤波DOA估计基本原理
经过空域滤波的信号协方差矩阵为：
R y = E [ y y H ] = C ( Θ ) R S C H ( Θ ) + R c {R_y} = E[y{y^H}] = C(\Theta ){R_S}{C^H}(\Theta ) + {R_c} R y = E [ y y H ] = C ( Θ ) R S C H ( Θ ) + R c 其中阵列接收信号协方差矩阵R s = E [ s s H ] {R_s} = E[s{s^H}] R s = E [ s s H ] R c = G H E [ n n H ] G {R_c} = {G^H}E[n{n^H}]G R c = G H E [ n n H ] G R y {R_y} R y
R y = E Λ E H {R_y} = E\Lambda {E^H} R y = E Λ E H 其中 ，Λ = [ Λ S 0 0 Λ N ] \Lambda=\left[\begin{array}{cc}\Lambda_{S} & 0 \\ 0 & \Lambda_{N}\end{array}\right] Λ = [ Λ S 0 0 Λ N ] Λ S {\Lambda _S} Λ S D D D Λ N {\Lambda _N} Λ N N − D N - D N − D E = [ E C S E C N ] E=\left[\begin{array}{ll}E_{C S} & E_{C N}\end{array}\right] E = [ E C S E C N ] E C S {E_{CS}} E C S E C N {E_{CN}} E C N Λ S {\Lambda _S} Λ S Λ N {\Lambda _N} Λ N
由此方法生成的空域矩阵滤波器通带响应与期望响应仍然会存在一定误差，即经滤波处理后的信号会发生一定程度的畸变，为了消除该误差的影响，需要对MUSIC算法的方位谱表达式做调整，则基于矩阵预滤波的MUSIC空间谱的峰值位置表达式为：
P P − MUSIC ( θ ) = c H ( θ ) c ( θ ) c H ( θ ) E C N E C N c ( θ ) , θ ∈ Θ P_{P-\text { MUSIC }}(\theta)=\frac{c^{H}(\theta) c(\theta)}{c^{H}(\theta) E_{C N} E_{C N} c(\theta)}, \theta \in \Theta P P − MUSIC ( θ ) = c H ( θ ) E C N E C N c ( θ ) c H ( θ ) c ( θ ) , θ ∈ Θ 其中c ( θ ) = G H a ( θ ) c(\theta ) = {G^H}a(\theta ) c ( θ ) = G H a ( θ )
仿真分析
对于一个由16个各向同性的阵元构成的均匀线列阵，三个等强度的非相干窄带信号源自远场分别由− 5 ∘ {\rm{ - }}{5^ \circ } − 5 ∘ 5 ∘ {5^ \circ } 5 ∘ 50 ∘ {50^ \circ } 5 0 ∘ Θ P = [ − 15 , 15 ] {\Theta _P} = [ - 15,15] Θ P = [ − 15 , 15 ] Θ S = [ − 90 , − 21 ] ∪ [ 21 , 90 ] {\Theta _S} = [ - 90, - 21] \cup [21,90] Θ S = [ − 90 , − 21 ] ∪ [ 21 , 90 ] Θ T = [ − 20 , − 16 ] ∪ [ 16 , 20 ] {\Theta _T} = [ - 20, - 16] \cup [16,20] Θ T = [ − 20 , − 16 ] ∪ [ 16 , 20 ]
(a)预滤波算法对阻带干扰抑制效果曲线
(b)预滤波算法的方位分辨率效果曲线
从图中可以看出，无论是常规MUSIC算法或者空域矩阵预滤波MUSIC算法都可以有效正确的估计出目标的方位信息，并且预滤波MUSIC算法在阻带扇面范围抑制干扰和噪声效果明显，能够抑制来自50 ∘ 50^ { \circ } 5 0 ∘
仿真分析常规MUSIC算法以及基于空域矩阵滤波后的MUSIC算法在信噪比不同的情况下，有效估计目标方位的概率，设定信噪比为[ − 15 : 1 : 15 ] [ - 15:1:15] [ − 15 : 1 : 15 ] θ ^ 1 \widehat{\theta}_{1} θ 1 θ ^ 2 \widehat{\theta}_{2} θ 2
∣ θ 1 ^ − θ 1 ∣ + ∣ θ ^ 2 − θ 2 ∣ < ∣ θ 1 − θ 2 ∣ \left|\hat{\theta_{1}}-\theta_{1}\right|+\left|\widehat{\theta}_{2}-\theta_{2}\right|<\left|\theta_{1}-\theta_{2}\right| θ 1 ^ − θ 1 + θ 2 − θ 2 < ∣ θ 1 − θ 2 ∣ 则认为其估计有效，最终计算有效概率，仿真结果如下，
信噪比不同情况下算法估计有效概率曲线
图中显示了不同信噪比下两种方位估计算法的有效分辨概率，可以看出，空域矩阵滤波MUSIC算法具有更低的信噪比门限，在-15dB时，常规MUSIC算法几乎已经无法估计目标方位，但预滤波MUSIC算法已经可以在30%以上的概率可以有效估计目标，在信噪比高于-5dB时，两种方法均能正确估计目标方位，可见在低信噪比时预滤波MUSIC算法目标方位分辨能力明显优于常规MUSIC算法。
(a)信噪比不同情况下的估计误差曲线
(b)信噪比不同情况下的估计标准差曲线
从图(a)、(b)中可以看出，当信噪比比较低时，预滤波MUSIC算法的估计偏差以及标准差明显低于MUSIC算法，随着信噪比的提高，差别越来越小。
由以上的仿真分析，该矩阵滤波器对阻带扇面内的噪声和干扰具有明显的抑制作用，提高了滤波器通带扇面内信号的方位分辨率，并且可以降低基于空域矩阵滤波方位估计时所使用算法的信噪比门限。
参考文献
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Nesterov. Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course
冯杰, 杨益新, 孙超. 自适应空域矩阵滤波器设计和目标方位估计[J]. 系统仿真学报, 2007, 19(20).
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