多重信号子空间分类算法

多重信号子空间分类算法（MUSIC）可以同时估计多个信号的方位，在模型条件满足时具有较高的方位分辨率。它的主要思想是：根据阵列输出数据估计协方差矩阵并进行特征分解，得到信号子空间和噪声子空间，再利用阵列流形与噪声子空间的正交性构造 MUSIC 方位谱，由谱峰位置估计信号方位。

本文主要记录MUSIC算法的相关推导以及相关因数对算法性能趋势的影响和仿真。

假设信号与噪声互不相关，各阵元噪声互不相关且具有相同功率，则根据窄带信号模型，其协方差矩阵为：

R = E[X { X^H } ] = AE[S { S^H } ] { A^H } + E[N { N^H } ] = A { R_s } { A^H } + { \sigma ^2 } I

其中，符号H表示矩阵的共轭转置。 $S$ 表示目标信号，对 $R$ 进行特征分解，则信号协方差矩阵可以由特征值和对应的特征向量表示为如下形式：

R { \rm { = } } \sum\limits_ { i = 1 } ^M { { \lambda _i } } { e_i } e_i^H

假设有 $d(d < M)$ 个信号由远处入射到阵列，且认为这些信号都能被检测到，将获得的特征值由大到小排列后，可以划分协方差矩阵 $R$ 特征分解后的特征值与特征向量：

\Lambda=\left[\begin{array}{cc}\Lambda_{S} & 0 \\ 0 & \Lambda_{N}\end{array}\right]

E=\left[\begin{array}{ll}E_{S} & E_{N}\end{array}\right]

式中， $\Lambda_S$ 和 $\Lambda_N$ 分别由降序排列后的信号特征值与噪声特征值构成， $E_S$ 和 $E_N$ 分别由相应的特征向量组成。信号子空间包含于阵列流形矩阵 $A(\theta)$ 的列空间，即

\operatorname{span}\left\{E_{S}\right\} \subseteq \operatorname{span}\{A(\theta)\}

式中， $\operatorname{span}\{E_S\}$ 表示由 $E_S$ 的列生成的子空间。如果各入射信号不相干且功率非零，阵列流形矩阵的列线性无关，信号协方差矩阵便为满秩；在上述白噪声条件下，可以得到：

\operatorname{span}\left\{E_{S}\right\}=\operatorname{span}\{A(\theta)\}

\operatorname{span}\left\{E_{N}\right\} \perp \operatorname{span}\{A(\theta)\}

由此，我们可以构造基于多重信号特征法的空间方位谱。因为扫描向量 $a(\theta )$ 属于阵列流形向量空间和信号子空间，所以它与噪声子空间也存在正交关系，即有：

E_N^H a(\theta_i)=0, \quad i=1,\ldots,d

所以在真实入射方向 $\theta_i$ 上，扫描向量到信号子空间的偏离程度，也就是它在噪声子空间上的投影能量，为：

\|E_N^Ha(\theta_i)\|_2^2=a^H(\theta_i)E_NE_N^Ha(\theta_i)=0

实际只能用有限快拍估计协方差矩阵，正交关系不会严格成立，因此目标方位估计通常通过搜索投影能量的极小值实现：

\theta_{MUSIC}=\arg _{\theta} \min a^{H}(\theta) E_{N} E_{N}^{H} a(\theta)

所以，基于MUSIC算法的方位谱估计为

P_{MUSIC}(\theta)=\frac{a^{H}(\theta) a(\theta)}{a^{H}(\theta) E_{N} E_{N}^{H} a(\theta)}

本部分通过仿真讨论在不同信号参数对MUSIC算法性能的影响，主要考虑当阵元数、阵元间隔、快拍数以及信噪比四个方面发生变化时进行仿真分析。假设3个非相干窄带信号入射到均匀线列阵，信号频率为2kHz，信号的入射角度分别为 ${10^ \circ }$ 、 ${30^ \circ }$ 、 ${50^ \circ }$ ，当阵元数、阵列孔径、快拍数以及信噪比变化时进行仿真分析。阵元数和阵元间距变化时的 MUSIC 空间谱

阵元数及阵列孔径发生变化对MUSIC算法性能曲线

分析阵元数以及阵列孔径对 MUSIC 算法影响时，分别采用 16 元阵和 24 元阵，阵元间隔分别为 $0.5\lambda$ 和 $0.7\lambda$ ，其中 $\lambda$ 为阵列接收信号的波长。仿真结果如上图所示。由图可以看出，无论是改变阵元的数量或者改变阵列孔径的大小对MUSIC算法的性能均会产生影响：当阵元间距相同时，接收阵元数相对较多的信号空间谱，其谱峰明显尖锐，分辨率较高，当阵元数相同，阵元间距为 $0.7\lambda$ 时，相对于阵元间距为 $0.5\lambda$ 的空间谱，其估计性能明显下降，同时在 $- {68^ \circ }$ 和 $- {42^ \circ }$ 出现虚假谱峰，严重影响对目标方位的正确估计。在分析快拍数和信噪比对MUSIC算法影响时，分别采用快拍数为1024和2048，信噪比为5dB和15dB的参数情况。仿真结果如图所示：

快拍数和信噪比变化时的 MUSIC 空间谱

快拍数与信噪比发生变化对MUSIC算法性能曲线

从上图中可以看出，信噪比和快拍数对MUSIC算法的方位估计效果均有显著影响，当信噪比均为15dB时，算法对快拍数较多的信号处理效果更好，当快拍数均为1024，信噪比分别为5dB和15dB时，MUSIC算法对15dB的信号估计效果明显优于5dB信号，其峰更加尖锐。

不同信噪比下 MUSIC 方位估计的有效概率

信噪比不同时MUSIC算法有效估计概率曲线

如上图所示，仿真是在其他条件保持不变的情况下，信号信噪比由 -10 dB 提升至 30 dB，每提升 1 dB，以 MUSIC 算法独立重复进行 100 次方位估计实验。如果估计角度与期望方位相差小于 ${1^\circ}$ ，则认为估计有效，否则估计无效。在这组仿真条件下，信噪比低于 0 dB 时有效概率不足 30%；从 -2 dB 至 6 dB，随着信噪比增加，有效概率明显提升；超过 6 dB 后，本次实验中的有效概率接近 100%。这些门限受阵列参数、快拍数及有效估计判据影响，不能视为 MUSIC 算法的普遍门限。不同信噪比下 MUSIC 方位估计的平均偏差